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第五章 狭义相对论基础

约 1142 个字 预计阅读时间 4 分钟

5.1 伽利略变化和力学相对性原理

5.1.1 伽利略变换

假设有这么两个惯性系S与S'，其中S'相对于S沿着公共的x(x')轴匀速直线运动，当两个惯性系原点O(O')重合时候记两者时间为t，关于两者之间的时空坐标(x, y, z, t)与(x', y', z', t')关系有：

\[ x'=x-vt;\quad y'=y;\quad z'=z;\quad t'=t \]

以上关系被称为伽利略变换式。

伽利略变换构建出了一个含有绝对的时间和空间的世界。

5.1.2 力学相对性原理

力学相对性原理
在各个惯性系中，力学规律保持不变。也就是说，各个惯性系都是等价的，无法通过做力学实验来区分哪个惯性系是静止的、哪个是运动的。

因此，质量、加速度、力等物理量在各惯性系中都具有相同的数值。

也就是说明了牛顿三大定律在不同的惯性系下都是成立的，即使这个惯性系相对运动。

但值得注意的是，这个相对性原理具有局限性，其只能在宏观的低速惯性系下才能实现。

5.2 狭义相对论的基本原理

  • 相对性原理
    • 一切物理规律在任何惯性系中形式相同
  • 光速不变原理
    • 光在真空中的速度与发射体的运动状态无关，恒为\({c=299792458m/s}\)

5.3 洛伦兹变换

我们仍然取前面对伽利略变换进行研究时候的S和S'，有如下变换：

\[ \begin{rcases} \begin{aligned} &\displaystyle x' = \frac{(x-vt)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\quad\\ &\displaystyle y' =y，z' = z\\ &\displaystyle t' = \frac{(t -\frac{vx}{c^2})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{aligned} \end{rcases} \]

当\({v << c}\) 时候，伽利略变换是成立的（本身是洛伦兹变换的特殊形式）

值得注意的是，发生在同一地点的两个同时事件对于不同地点也是同时的

5.4 相对论的时空观

在相对论的时空观下空间和时间不是绝对的，从而会引发如下两个很反直觉的现象

5.4.1 尺缩效应

这里我们要讨论一个很傻的问题：测量的要求是什么？

其实它隐含了一个我们都忽略的前提：同时性。

在同一参考系中，要在同一时刻测量两个端点的位置，才是其在参考系下长度。

假设有S，S'参考系，后者相对于前者有v的速度，假设有一把尺子固定在S'系的x轴上，对于尺缩效应，推导如下：

\[ \begin{aligned} &\Delta x = x_2-x_1\\ &\Delta x' = x_2'-x_1'\\ &\Delta x' = \frac{(x_2-vt_2)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - \frac{(x_1-vt_1)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \because\quad& t_1 = t_2\\ \therefore\quad &\Delta x' = \frac{\Delta x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ &\Delta x = \Delta x'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \end{aligned} \]

值得注意的是\({\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}<1}\)，所以\({\Delta x < \Delta x'}\)，其中\({\Delta x'}\)为静止长度，并且它总是最长的。

5.4.2 时间膨胀

同上，对于一个相对静止和相对运动的参考系里，测量两个事件时间的间隔是不同。

如有一辆速度为v的列车上，有一个相距d的光源和镜子，列车上的人和地上的人看到的光从发射-反射-返回光源的时间间隔为\({\Delta t'}\)和\({\Delta t}\)，推导如下：

\[ \begin{aligned} &l =\sqrt{d^2 + (\frac{v\Delta t}{2})^2}\\ &\Delta t= \frac{2l}{c}\\ \because\quad &\Delta t' = \frac{2d}{c}\\ &\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{aligned} \]

也就是\({\Delta t > \Delta t'}\)

5.5 狭义相对论动力学基础

5.5.1 相对论力学基本方程

牛顿力学中：

\[ \vec{p}=m\vec{v} \]

其中m不随物体运动状态而改变的量。

在相对论下：

\[ p = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\vec{v} \]

其中有相对论性质量：

\[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

所以接近光速的时候，相对论质量会急剧增加，到达光速时发散，证明了有质量的物体光速不可到达。

相对论动力学方程有：

\[ \vec{F}=\frac{{\rm d}\vec{p}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}(m\vec{v})}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-\beta^2}}\right) \]

5.6 相对论动能与质能关系式

5.6.1 相对论动能

可以证明，相对论下的动能定理为：

\[ E_k = mc^2 -m_0c^2 = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right) \]

其中\({m}\)为物体运动速度为v时候的质量，\({m_0}\)是物体静止质量。

当\({v<<c}\)，所以有：

\[ E_k = m_0c^2\left(1+ \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}-1\right) = \frac{1}{2}m_0v^2 \]